Matemáticas, Una Sinfonía De Números

Las matemáticas para muchos es una ciencia muy complicada e incluso incomprensible, pero estamos rodeados de números y siempre lo estaremos aun cuando no los veamos. Son indispensables para nuestra vida cotidiana y es casi imposible vivir un día sin utilizar los números, ya sea para transacciones económicas, cantidades en la comida, medir la hora, etc. A continuación hay unos ejemplos de las diferentes aplicaciones de matemáticas en el mundo, desde razonamiento puro hasta música.

Pero empecemos con unos chistes de ingenieria:

¿Qué es un hijo complejo? El resultado de una madre real y un padre imaginario.

¿Qué le dijo un vector a otro? ¿Tienes un momento?

¿Cuánto son 2+2?
Ingeniero: 3.9999999
Estadistico: 4.0004 +/- 0.0006
Matemático: espere sólo unos minutos mas, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando.
Filósofo: ¿Que quiere decir cuando dice "2+2"?
Informático: defina las características de la operación "+" y le responderé.
Contador: cierra puertas y ventanas y pregunta en voz baja "¿cuánto quiere que sea el resultado?".

Jesús a sus discípulos entra al resinto y escribe con tiza en una pared "x2":
Los discípulos comentan entre sí, y Pedro dice:
- Maestro, no entendemos...
A lo que Jesús responde:
- ¡Esto es una parábola!

Se abre el telón y se ven tres vectores linealmente independientes. ¿Cómo se llama la obra?
Rango 3.

Ok continuemos con el tema. Este experimento a continuacion es mi favorito de esta entrada, se puede interpretar como lo que pasa actualmente en medio oriente, o al menos es la única excusa para la existencia de una guerra que lleva dos mil años

De Monos Y Bananas

Supongamos que tenemos seis monos en una pieza. Del cielo raso cuelga un racimo de bananas. Justo debajo de él hay una escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras hacia las bananas.

Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada. Naturalmente, eso detiene al mono. Luego de un rato, el mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo resultado: todos los monos son rociados con el agua helada a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos.

Ni bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo, y terminan a los golpes si es necesario. Una vez que llegamos a este estadio, retiramos uno de los monos de la pieza y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror, todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden. Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta subir por las escaleras lo van a golpear sin piedad.

Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las escaleras y el proceso se repite: ni bien la toca (la escalera), es atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!) participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo. Un tercer mono es reemplazado y ni bien intenta subir las escaleras, los otros cinco lo golpean. Con todo, dos de los monos que lo golpean no tienen ni idea de por qué uno no puede subir las escaleras. Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba del grupo original. Al sacar a éste ya no queda ninguno que haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo, una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla: no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene argumentos para sostener tal barbarie. Cualquier similitud con la realidad de los humanos no es pura coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos

Patrones Y Bellezas Matemáticos

Las matemáticas ofrecen muchas curiosidades, entre las que se encuentran ciertas simetrías y patrones de extraña belleza.

¿Está todo "ordenado" y sólo lo descubrimos? ¿O lo inventamos nosotros? Aquí van algunos ejemplos.

1 * 8 + 1 = 9

12 * 8 + 2 = 98

123 * 8 + 3 = 987

1,234 * 8 + 4 = 9,876

12,345 * 8 + 5 = 98,765

123,456 * 8 + 6 = 987,654

1,234,567 * 8 + 7 = 9,876,543

12,345,678 * 8 + 8 = 98,765,432

123,456,789 * 8 + 9 = 987,654,321

1 * 9 + 2 = 11

12 * 9 + 3 = 111

123 * 9 + 4 = 1,111

1,234 * 9 + 5 = 11,111

12,345 * 9 + 6 = 111,111

123,456 * 9 + 7 = 1,111,111

1,234,567 * 9 + 8 = 11,111,111

12,345,678 * 9 + 9 = 111,111,111

123,456,789 * 9 +10 = 1,111,111,111

9 * 9 + 7 = 88

98 * 9 + 6 = 888

987 * 9 + 5 = 8,888

9,876 * 9 + 4 = 88,888

98,765 * 9 + 3 = 888,888

987,654 * 9 + 2 = 8,888,888

9,876,543 * 9 + 1 = 88,888,888

98,765,432 * 9 + 0 = 888,888,888

1 * 1 = 1

11 * 11 = 121

111 * 111 = 12,321

1,111 * 1,111 = 1,234,321

11,111 * 11,111 = 123,454,321

111,111 * 111,111 = 12,345,654,321

1,111,111 * 1,111,111 = 1,234,567,654,321

11,111,111 * 11,111,111 = 123,456,787,654,321

111,111,111 * 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321

Si se multiplica 111,111,111 por sí mismo, es decir, si se eleva al cuadrado, se obtiene el número: 12,345,678,987,654,321.

Los matemáticos y las vacas

En un tren viajaban tres personas: un economista, un lógico y un matemático. Recién habían cruzado la frontera que separa a, digamos, Francia y España.

En ese momento, desde una de las ventanas del tren, ven una vaca marrón. La vaca está comiendo pasto en forma paralela al tren. El economista dice: "Miren… las vacas en España son marrones". El lógico replica: "No. Las vacas en España tienen al menos un lado que es marrón". El matemático interviene confiado y dice con autoridad: "No. Hay al menos una vaca en España, uno de cuyos lados parece ser marrón".

Más allá de que esto parezca una broma, tiene un ángulo interesante para analizar. En rigor, en función de los datos que ellos tenían, de las tres conclusiones que sacaron, la única que se puede sostener es la del matemático. Las otras dos parecen ciertas también, claro, pero se apoyan en que nosotros sabemos algunas cosas más sobre las vacas, y esa información la querríamos usar si estuviéramos en el tren.

Una historia de Google

Esta es una anécdota de un argentino acerca de cómo google busca trabajadores.

¿Quieres entrar a trabajar en Google? Necesita estar preparado, por ejemplo, para resolver problemas como los que siguen. La historia, al menos para mí, empezó en agosto del 2004. Estaba en Boston y al pasar por una estación de subte vi un cartel de publicidad muy grande, de unos quince metros de largo, colgado del techo de la estación correspondiente a la Universidad de Harvard. El cartel decía: (primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e).com Nada más. Eso era todo lo que decía el enorme cartel. Obviamente, me llamó muchísimo la atención, y lo primero que pensé si se trataría efectivamente de un cartel de publicidad o si alguien estaría haciendo una broma o algo por el estilo. Pero no, el cartel tenía todas las características de ser una propaganda convencional. Sin que nadie se sienta intimidado, podemos afirmar que cuando uno dice que algo crece exponencialmente, aunque no lo sepa, involucra al número e. Cuando uno habla de logaritmos, habla del número e. Cuando habla de interés compuesto, habla del número e. Cuando se refiere a la escala de Richter para medir terremotos, está involucrado el número e. Del mismo modo que nos acostumbramos a oír o a leer que el número pi se escribe: pi = 3,14159… el número e también tiene infinitas cifras, y las primeras son: e = 2,718281828… El número e es una suerte de pariente cercano de pi, en el sentido de que, como pi, es irracional y trascendente. La historia sigue así: después de ver el cartel (y descubrirlo en otros lugares más), le comuniqué mi hallazgo a mi amigo Carlos D'Andrea, matemático egresado de la Universidad de Buenos Aires (UBA), ahora instalado en Barcelona luego de su exitoso paso por Berkeley. Carlos le trasladó la pregunta a Pablo Mislej, otro matemático argentino que en ese momento trabajaba en un banco en Buenos Aires (y acababa de tener su primer hijo). Unos días después, Pablo me escribió un e-mail contándome lo que había encontrado. Ni bien vio el problema, comprendió que necesitaba encontrar la mayor cantidad de decimales que hubiera publicados del número e. Y encontró el primer millón de dígitos de e en esta página: http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil

Esos datos se conocen hace ya muchos años, más precisamente desde 1994. Lo que tuvo que hacer Pablo fue separar la información en segmentos de diez numeritos cada uno, y luego fijarse cuál era el primero en formar un número primo. Como se dará cuenta, todo esto es imposible de realizar sin una computadora, y siendo capaces de crear un programa que lo procese. La primera tira de 10 dígitos que cumplía con lo pedido era: 7427466391

El número 7 que aparece en primer lugar en la tira corresponde al dígito 99 de la parte decimal del número e. Con ese dato, a continuación Pablo tuvo que ir a la página web http://www.7427466391.com y ver qué pasaba. Cuando llegó a ese punto, se encontró con otro problema (algo así como La búsqueda del tesoro). Claro que para llegar a él debió resolver el primero.

Y lo que Pablo vio fue lo siguiente:

f(1) = 7182818284

f(2) = 8182845904

f(3) = 8747135266

f(4) = 7427466391

f(5) = ___________

En este caso, se trataba de completar la secuencia. Es decir, a partir de los primeros cuatro números de la columna de la derecha, había que descubrir qué número correspondía al quinto lugar.

Pablo me escribió que, con un poco de suerte, advirtió que la suma de los diez dígitos de los primeros cuatro números da siempre 49. No sólo eso: como ya tenía los datos sobre el número e y su desarrollo, dedujo que los primeros cuatro números de esa columna correspondían a cuatro de las "tiras" que él ya tenía.

Es más: vio que el primer número, 7182818284 correspondía a los primeros diez dígitos del desarrollo decimal del número e.

El segundo: 8182845904 son los dígitos que van del quinto hasta el decimocuarto lugar.

El tercero: 8747135266 corresponde a los dígitos que van del lugar 23 al 32.

Y por último, el cuarto: 7427466391 es la "tira" que involucra a los dígitos 99 al 108 del desarrollo de e. Se dio cuenta, entonces, de que estaba cerca: necesitaba buscar ahora la primera "tira" de todas las que no había usado, que sumara 49… ¡Y la encontró!

El candidato a ser el quinto número de la secuencia era el 5966290435 que corresponde a los dígitos 127 al 136 del desarrollo decimal. Cuando completó la secuencia, y pulsó enter en su computadora, apareció súbitamente en otra página web.

Ésta decía: http://www.google.com/labjobs/index.html donde invitaban a enviar el currículum vitae, que sería tenido en cuenta por la firma Google para un futuro contrato, porque quien hubiera ingresado en esa página habría superado los obstáculos que ellos creían suficientes para poder pertenecer a la empresa.

Aldea global

Si pudiéramos encoger la población de la Tierra hasta llevarla al tamaño de una villa de exactamente cien personas, manteniendo todas las proporciones humanas existentes en la actualidad, el resultado sería el siguiente:

• Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14 americanos y 8 africanos

• 70 serían no blancos; 30 blancos

• 70 serían no cristianos; 30 cristianos

• 50% de la riqueza de todo el planeta estaría en manos de seis personas. Los seis serían ciudadanos de los Estados Unidos

• 70 serían analfabetos

• 50 sufrirían de malnutrición

• 80 habitarían viviendas de construcción precaria

• Sólo uno tendría educación de nivel universitario.

¿No es cierto que creíamos que la Humanidad había alcanzado un mayor nivel de desarrollo? Estos datos corresponden a una publicación de las Naciones Unidas del 10 de agosto de 1996. Si bien han pasado casi 14 años, no dejan de ser datos sorprendentes.

Matemáticas Musicales

A los que les gusta la música (sobre todo tocar algún instrumento y saber algo sobre partituras y lenguaje musical) esto les gustará. Es un tema sabido. Pero no para todos

Pitagóricos

Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa "lo que es aprendido". Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica más que armónica (combinación de sonidos diferentes, pero acordes entre sí) y era micro tonal; su escala contenía muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental (do re mi fa sol la sí, con sus respectivos sostenidos).

Fue Pitágoras quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que sonaban "armónicos" y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y de placer, podía ser medida por medio de razones de números enteros.

Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende el longitud, grosor y tensión de la misma (guitarra, bajo, violín, etc. hace tu experimento con un elástico de los que se le salen a la ropa). Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído (si tocas la guitarra, te darás cuenta que esto no es ni más ni menos que los famosos armónicos, existentes en TODOS los instrumentos de cuerdas, bajos, pianos, etc.). Esto era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno.

Pitágoras no sabía nada de armónicos. El sólo sabía que la longitud de la cuerda con las razones 1:2 y 2:3 producía unas combinaciones de sonidos agradables (una octava más aguda y una quinta respectivamente) y construyó una escala a partir de estas proporciones.

La serie de Fibonacci

Los números de la llamada serie de Fibonacci, son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. Como el primero es 1 y antes no hay nada, el segundo es 1, el tercero es 1+1, el cuarto es 1+ 2 y así sucesivamente:

Serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .........

Un ejemplo de la utilización de la serie se da en la quinta sinfonía de Beethoven. Beethoven la emplea no sólo en el tema, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenecen a la Serie.